Konstant talföljd

Texten syftar till att ge dig som lärare tips på hur du kan utveckla dina elevers kunskaper inom området talföljder. Att kunna utveckla elevernas förmåga att se uppbyggnaden av olika talföljder och att kunna konstruera egna talföljder, som också ska kunna beskrivas verbalt. Det finns flera olika slags talföljder som är bra att känna till, dessa kommer vi att gå igenom här.

Grunden till talföljder är att det är en följd av tal som oftast följer ett speciellt mönster. Där den enklaste talföljden är vanlig ramsräkning 1, 2, 3, 4, 5…. Mitt i Prick Mitt i prick är ett heltäckande basläromedel i matematik där eleverna får möta matematikens värld och dess olika begrepp på ett genomtänkt och utvecklande sätt redan i förskoleklass.

Läs mer om Mitt i prick Talföljder En talföljd är en följd av tal, ändlig eller oändlig. Talen som bildar följden kallas för dess element. Ett exempel på en talföljd är: 2, 4, 6, 8… där prickarna betyder att den är oändlig. En talföljd som exemplet demonstrerar har en konstant steglängd, differensen mellan två intilliggande element är då lika stora.

När differensen mellan två på varandra följande element är konstant så heter det aritmetisk talföljd. I en aritmetisk talföljd så kan talen även minska med ett konstant värde, som till exempel: 42, 35, 27, En geometrisk talföljd är när kvoten på varandra följande element är konstant, kvoten mellan vilket tal som helst och det närmst föregående är alltid lika stor, ett exempel med kvoten 2: 2, 10, 20, 40, Fibonaccis talföljd betyder att varje element är summan av de båda närmst föregående, vilket ser ut så här: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… Fibonaccis talföljd tittar vi närmre på, med hjälp av en tydlig illustration, på sida i Mitt i Prick 4A grundbok.

Att bestämma en generell beteckning för aritmetiska talföljder Låt säga att vi har en aritmetisk talföljd som ser ut som följande: 2, 4, 6, 8, 10, 12 Ganska snabbt ser vi att differensen mellan varje tal är lika med 2. Om vi nu vill räkna ut vilket tal som är nummer 20 i följden, hur gör vi då? Vi tittar på talföljden igen. Vi ser att talet på plats 2 i talföljden får vi genom att lägga till differensen till första talet.

Hur du känner igen en konstant talföljd

Talet på plats 3 fås genom att lägga till två differenser till första talet, fjärde talet genom att lägga till tre differenser till första talet osv. Vi ser alltså att om vi vill få fram det fjärde talet i talföljden så måste vi lägga till tre differenser till talet på plats 1, alltså till talet 2. Om vi nu ska generalisera så kan vi säga att talet an, som betecknar det tal med platsnummer n, är lika med första talet i talföljden dvs 2 plus så många differenser som krävs för att få fram rätt tal.

Antalet differenser är alltid 1 mindre än platsnumret därför skriver vi. Detta ger oss regeln att talet an är lika med första talet i talföljden a1 plus antalet differenser multiplicerat med differensen d differensen varierar ju mellan olika talföljder : För en aritmetisk talföljd gäller: Exempel 5 Bestäm a8 i den aritmetiska talföljden 80, 72, 64, 56, 48, … Vi har ju formeln för aritmetiska talföljder: Talföljden börjar med 80, alltså: Vi beräknar differensen d: Antalet differenser är en mindre än platsnumret vi tittar på: Vi sätter in värdena i formeln och beräknar talet: Svar: Exempel 6 I en aritmetisk talföljd är och.

Precis som vi gjorde innan så kan vi rita upp talföljden med differensen på en linje som vi gjorde ovan. I en aritmetisk talföljd är differensen densamma hela tiden, detta kan vi utnyttja. Vi har två tal i talföljden: 24 och Differensen mellan dem är. Mellan plats 4 och 8 ser vi att det är fyra differenser.

Övningsuppgifter för konstanta talföljder

Det är dessa 4 differenser som tillsammans bildar differensen på Med andra ord kan vi dividera 24 med 4 för att få fram differensen: För att få fram första talet i talföljden kan vi nyttja formeln för aritmetiska talföljder: Vi sätter in våra värden och löser sedan ut. Vi delar med minus 1 på båda sidorna för att få fram I detta fallet blev första talet detsamma som differensen bara för att talföljden byggde på 6:ans gångertabell.

Svar: Första talet i talföljden är 6. Exempel 7 Vi har talföljden 9, 16, 23, 30, …, Hur många element finns det i denna talföljd? Här kan vi återigen nyttja formeln: Det vi vill veta är värdet på n, vilket vi kan ta reda på genom att lösa ut just n i formeln. Vi sätter in värdena vi har. Därefter skiftar vi också plats på 7n och för att det ser bättre ut med variabeln n på vänster sida.

Begrepp Övningar I det här kapitlet kommer vi att lära oss om talföljder och även hur vi med hjälp av så kallade induktionsbevis kan bevisa påståenden som gäller för talföljder och summor. Inledningsvis kommer vi i det här avsnittet att repetera hur talföljder fungerar och hur vi kan beskriva vissa typer av talföljder.

Därefter kommer vi i nästa avsnitt att lära oss mer om rekursion , vilket är ett sätt att successivt beräkna talen i en talföljd utifrån de tal som redan är kända. Talföljder I Matte 1-kursen stötte vi på två typer av talföljder: aritmetiska talföljder och geometriska talföljder. Allmänt gäller att en talföljd är en uppräkning av tal i en viss ordning.

De tal som ingår i en talföljd kallas element.